Hoofdstuk 6

DIDACTIEK EN SIGNALEREN

6.1 rekendidactiek

Het rekenproces

Wanneer we kinderen leren rekenen is het de kunst om hen zover te begeleiden dat ze hun eigen rekenvermogen leren gebruiken en omvormen, zodat het tot rekenvaardigheid wordt. Dan pas kunnen ze dat wat in potentie in hen aanwezig is, ook toepassen in de dagelijkse praktijk. We schreven hierover in hoofdstuk 1. Daarnaast blijven er een aantal andere vragen bestaan:

• Hoe gaan we dat doen? Dit is een vraag naar rekendidactiek; de vraag naar een didactische route.
• Wat doen we op welk moment? Hier vragen we ons af hoe we met het rekenen in de verschillende leeftijdsfasen om moeten gaan, hoe het kind de wereld in verschillende leeftijdsfasen ontmoet en hoe het rekenen bij kan dragen aan de individuele ontwikkeling van de mens. Op deze vraag wordt ingegaan in het boek ‘Rekenen in beweging’.¹
• Ten slotte is er de vraag naar de extra hulp voor kinderen. Waar en op welke manier kunnen we de kinderen die dat nodig hebben extra hulp bieden?

Zoals we hebben kunnen lezen in de eerste hoofdstukken is het karakter van het leerproces van kleuter en onderbouwleerling geheel verschillend: De jongste kleuter leeft nog helemaal in de omgeving. Het kind reageert spontaan op elke impuls vanuit die omgeving. Het onderscheid ik-wereld is nog niet aanwezig; het leeft in wat er vanuit deze wereld op hem toekomt en kan daar nog geen afstand toe nemen. In het spel verbindt het kind zich met de indrukken die op hem af komen. Het is voor iedereen navoelbaar dat er in het spel en in de nabootsing van de wereld heel wat leerervaringen zinvol worden opgedaan. Maar het kind kan nog niet vanuit het bewustzijn op deze ervaringen reflecteren. De wereld maakt nog direct indruk, je zou zelfs kunnen zeggen een afdruk. Rudolf Steiner geeft aan dat elke indruk een afdruk tot in het fysieketherische maakt.² Het inrichten en sturen van de omgeving kan het leerproces op gang brengen, kan er zorg voor dragen dat kinderen rekenwiskundige ervaringen tot in het lichamelijke opdoen.

 

1

Rekenen in beweging

2

Die Kunst des Erziehens aus dem erfassen der Menschenwesenheit GA 311 1^e voordracht

 

Anders wordt het wanneer de kinderen in de onderbouw komen. Het ‘onbewuste’ opnemen van de buitenwereld verandert en er ontstaat een nieuwe vorm van leren. Het kind wordt langzaam maar zeker nieuwsgierig voor de buitenwereld en wil deze met zijn denken veroveren. Er ontstaat een nieuwe beweging; van binnen naar buiten. De wakkerheid voor de omgeving begint te groeien, de interesse voor de buitenwereld ontstaat.

Daarnaast maakt ook het etherlichaam een andere beweging zoals we gezien hebben in het eerste hoofdstuk. Datgene wat eerst gewerkt heeft aan de vorming van het lichaam, de krachten die vormend gewerkt hebben, komen nu ter beschikking aan het leren. Soms wordt ook gezegd: vormende krachten komen nu vrij als wakkere voorstellingskrachten.

Vanuit dit gegeven krijgt ook het leren een andere beweging. Nog steeds gaan we bij het rekenen uit van de handeling. Maar nu trachten we eerst de interesse van de kinderen te wekken en vervolgens gaan we met de kinderen een proces van bewustwording in. Zo brengen we de kinderen via hun spontaan ontluikende vermogen vaardigheden bij. Leerden de kinderen in de kleuterklas vooral door interactie met een uitdagende speel-leer omgeving; nu wordt het leren systematisch. We kunnen een leerroute met de kinderen beginnen. De leraar heeft dan ook een duidelijk rekendoel voor ogen

Annemieke Zwart ontwikkelde zeven stappen waarlangs een didactische route zich kan begeven. Deze stappen zijn uitgewerkt in het boek: ‘De bron van het leren’ ³ In de volgende beschrijving laten we een wegwijzer zien van een mogelijke route om vanuit het rekenvermogen tot vaardigheid te komen. In deze bronnendidactiek kunnen we twee keer drie stappen onderscheiden met een duidelijke omslag in het middenpunt: In de eerste drie stappen: het waarnemen, verbinden en verwerken, staat het ontdekken van het eigen rekenvermogen centraal; het ontdekken van de eigen vorm. Daarna wordt in de laatste drie stappen: het oefenen, toepassen en creatief handelen, gewerkt aan het

• omzetten van het vermogen tot vaardigheid en

• inzetten van de rekenvermogens in de wereld Daartussenin staat het moment, het individualiseren, waarin het kind zijn eigen vermogen herkent

• het waarnemen, verbinden en verwerken (herkennen van de eigen vermogens) De leerkracht zet een route uit waarin het kind de leerstof ontmoet en verwerkt op een eigen manier.
• het individualiseren waarin de leerstof als een eigen mogelijkheid ervaren wordt, ontdekt wordt en waarin het kind zijn eigen rekenstrategie ontdekt
• het oefenen, toepassen en scheppen (ontwikkelen van vaardigheden) De leerstof wordt tot instrument waarmee het kind de buitenwereld tegemoet treedt.

   

3

De bron van het leren

 

Waarnemen

Er is een moment en een manier waarop leerlingen de leerstof ontmoeten. Een moment waarop de leerstof of het rekenvraagstuk beleefbaar wordt. De leerkracht stuurt hierin. Hij bepaalt vanuit verschillende overwegingen waarom een bepaalde leerstof nu aan de orde is en zoekt vervolgens naar een wijze waarop hij de ontmoeting met de leerstof tot stand brengt. In de onderbouwleeftijd is het belangrijk dat de ingang tot alle leerstof vanuit het gevoelsgebied verzorgd wordt.

‘Jongens en meisje’s gisteren hebben we mijn verjaardag in de klas gevierd en de vlaggetjes waarmee jullie de klas hebben versierd heb ik laten hangen. Ik heb ze geteld het zijn er 74. Ik ben 48 geworden dat heb ik op het 48e vlaggetje gezet. Toen ik begon op deze school was ik 24. Op welk vlaggetje zou ik dat moeten zetten?’ De kinderen gaan meteen tellen en na een korte tijd zijn ze het eens en wijzen het vlaggetje aan

Vaak worden er verhalen, spelen, bewegingen of open opdrachten gebruikt om kinderen in de beleving van de leerstof te brengen. Met rode konen wordt geluisterd of meebewogen.

Verbinden

Als kinderen hebben waargenomen waar het in om gaat ontstaat de wens om zich te verbinden; ze willen zich vanzelf uiteen zetten met de leerstof. Op allerlei manieren wordt er in deze fase gewerkt aan het onderzoeken van de leerstof. Tijdens dit deel van het onderwijs biedt de leerkracht allerlei modellen van aan vanuit een doordachte leerlijn; modellen waarin het kind zich denkend, voelend en willend met de leerstof uiteen kan zetten en waaruit het in een later stadium kan gaan kiezen.

Nadat de kinderen de vlaggetjes getekend hebben worden er vlaggetjes gemaakt waarop de getallen tot de honderd geschreven worden (elk tiental een andere kleur) en in de zaal met de getallen onzichtbaar op de grond gelegd. De leraar vraagt: Wat denk j,e waar is nu de 43? Hoe zou je hem snel kunnen vinden? Waar is nu de 24? Hoeveel vlaggetjes liggen tussen de 43 en 24? De kinderen zijn ingestapt en het leerproces is begonnen aan de hand van de vlaggetjeslijn. Ze doen mee, lossen vragen op en bedenken opdrachten voor elkaar.

Verwerken

Aan de hand van opdrachten zoekt het kind naar zijn eigen werkwijze, zijn eigen model. Vaak zijn we al tevreden wanneer de kinderen een model kunnen uitvoeren. De zoektocht naar de eigen werkwijze echter laat het individuele rekenvermogen van de kinderen zien. Allerlei opdrachten kunnen hieraan bijdragen.’Vertel eens wat je gedaan hebt om het antwoord te vinden?’ is in de lagere klassen een vraag die reflecterend op de eigen rekenstrategie kan werken. In de hogere klassen kan de vraag: ‘Hoe zou je dat aan moeten pakken?’ gesteld worden. Vanaf dit moment treedt de leerkracht op als organisator zodat het kind zijn eigen ontdekkingsweg kan gaan. In deze fase is het voor kinderen met rekenproblemen zinvol om als interventie een strategie voor te schrijven die ze moeten volgen.

De leraar geeft de volgende opdracht: ‘Karel is 43 jaar wat is zijn leeftijd over, laten we zeggen, 18 jaar? Welke som hoort hierbij kinderen? ‘43 plus 18’, zegt Inge. De leraar vraagt de kinderen om dat uit te rekenen. Vervolgens vraagt hij: ‘En hoe hebben jullie dat gedaan, vertel eens? Dan worden er verschillende oplossingen verwoord. 43+7=50 + 10 =60 +1=61 43+20=63 -2 =61 40+18=58 + 3 =61 Sommige kinderen gaan naar het bord en tekenen de oplossing op de getallenlijn. Anderen vertellen wat ze gedaan hebben.

Vanuit deze wijze van werken ontstaat het gevoel van begrijpen bij het kind. Het kind weet hoe hij/zij het aan kan pakken en gaat vervolgens op zoek of de werkwijze op andere sommen toegepast kan worden. Tevens ontstaat er al doende een beeld van de ‘foute’ strategieën waardoor je als leerkracht een blik krijgt op de vaardigheden en vermogens van de individuele leerling in de klas. Dit moment in het leerproces geeft een leraar veel informatie over de aanpak van kinderen en fouten die er gemaakt worden. We zien dit moment dan ook als een signaleringsmoment waaraan vanuit een kijkwijzer een diagnostisch gesprekje gekoppeld kan worden

Individualiseren

Wanneer deze werkwijze wordt gevolgd wordt het kind zich bewust van zijn handelingen of aanpak. Er ontstaat inzicht in het oplossen van het probleem. Het kind op deze manier tot een model voor het aanpakken van dit probleem en gaat op onderzoek uit of hij met deze ontwaakte vaardigheid ook andere problemen kan oplossen.

Plotseling klinkt er in de klas: ‘Dan kun je elke keer naar de volgende tien gaan en daar de rest bij tellen, dat is gemakkelijk’ Een andere groep kinderen zit te twinkelen omdat ze nog een andere oplossingsmanier gevonden hebben.

Oefenen

Nadat de kinderen zicht gekregen hebben op het eigen handelen, op de eigen aanpak van het rekenprobleem, moet er geoefend worden om dit ontdekte vermogen tot vaardigheid te maken. Het gebied van het rekenen tot de 20 moet tot de gekende rekenfeiten gaan behoren. Het oefenen van deze bekende rekenfeiten is de lagere klassen een belangrijk pijler. Alle kinderen doorlopen dit proces op een eigen manier. Differentiëren is in deze fase dus op zijn plaats. Er zijn kinderen die nog in een concreet handelende situatie verkeren. Het maken van rijtjes sommen heeft voor hen geen betekenis, dus ook geen zin. Hier is een aangepast programma nodig. Daarnaast zijn er kinderen die een eigen strategie gekozen hebben en voor wie het belangrijk is om al oefenend vele van dergelijke opdrachten te maken zodat de gekozen oplossingswijze geautomatiseerd wordt. Voor dergelijke kinderen kan een rijtje goed werken maar ook andere gevarieerde oefenwijzen kunnen hun vruchten afwerpen. Tenslotte zijn er kinderen die de rekenstrategie al zodanig onder de knie hebben dat ze deze als instrument kunnen gebruiken om opgaven op te lossen. Voor deze kinderen hebben de rijtjes sommen weinig zin omdat ze dan oefenen wat ze al lang kunnen. Er is geen interesse en de motivatie om te oefenen verdwijnt. Voor deze kinderen is het toegepast oefenen van belang; het rekenen komt ten dienste te staan aan het oplossen van dagelijkse problemen. Daarnaast zijn de werkvormen die de leerkracht in de klas hanteert van groot belang. Een klassenmanagement dat het mogelijk maakt kinderen individueel en in groepen te begeleiden is in deze fase van groot belang evenals een rijkdom aan materiaal en hulpmiddelen.

 

Beste kinderen, ik heb wat oefensommen voor jullie uitgezocht: Dat groepje maakt dat boodschappenlijstje wat die artikelen samen kosten. Deze groep maakt de sommen. Je mag het telraam gebruiken als je dat echt nodig hebt. Ook mag je papier gebruiken om de getallenlijn te tekenen. Een Sofie en Peter komen bij mij zitten. Dan help ik jullie met de MAB blokjes.

Toepassen:

Na veelvuldig oefenen van de strategie wordt deze tot een instrument waarmee het kind de wereld tegemoet treedt. Het ‘model voor’ (dat steeds bewust moest worden gehanteerd) wordt tot een mentaal handelen (de rekenstrategie wordt tot instrument) Op dit moment kan het rekeninstrument toegepast worden op de buitenwereld.

Morgen is het Michaelsfeest. Ik moet vanmiddag voor alle kinderen appeltjes halen. Hier is de klassenlijst, reken even uit hoeveel appeltjes ik mee moet nemen. Vergeet de juffen en meesters niet.

Scheppen:

Wanneer de kinderen de leerstof hebben leren toepassen op allerlei gebieden dan kunnen ze op een geheel eigen manier omgaan met de rekenstof.

Die sommen zijn moeilijk. Ik heb even geen tijd. Johan zou jij kunnen proberen om Frederik uit te leggen hoe hij die sommen het best kan maken. Let er wel even op dat het eerste getal heel moet blijven.

Steeds weer gaat het rekenproces deze route. Natuurlijk volgen de stappen elkaar niet strak op maar weven ze voortdurend door elkaar.

6.2 Signaleren

Hindernissen in de rekenontwikkeling

Een voorbeeld

‘Johan wat is het kwart van 24?’ Johan kijkt met een schuine blik omhoog en brengt zijn vinger naar zijn mond. ‘Uh..., dat is 9’, zegt hij dan met een zucht. ‘Hoe heb je dat gevonden Johan?’ vraag ik dan. ‘Nou een kwart is vijftien ( kwartier) En dan doe ik vijftien van de vierentwintig en dat is negen.’

Rekenproblemen komen op elk rekengebied voor. Of we het nu in het bovenstaande geval over de breuken hebben of over de het rekenen tot 10. Op elk gebied zien we dergelijke rekenproblemen. Zoals we in hoofdstuk 2 hebben gezien kunnen kan de oorzaak van deze problemen op verschillende gebieden liggen.

Het diagnostisch gesprek

Vaak worden rekenproblemen al snel zichtbaar in de klas. Maar ze kunnen ook weer snel uit het zicht verdwijnen omdat kinderen de neiging hebben om ze te verbergen. De weg naar faalangst is in het rekenonderwijs maar kort, de weg terug naar vertrouwen in het rekenen is langer. Vandaar dat we het belangrijk vinden dat rekenproblemen bij kinderen snel gesignaleerd worden zodat de leraar actie kan ondernemen om kinderen weer mee te krijgen in de stroom van de klas. Bij het opsporen van rekenproblemen (het signaleren) kunnen we gebruik maken van verschillende informatiebronnen.

• Ten eerste natuurlijk de waarneming van de leraar. Vanuit observatie kan al snel duidelijk worden dat een kind problemen heeft met rekenen en hoe het met deze problemen omgaat. In dit geval is van belang dat de leraar weet waar hij op let. Waar kijk je naar en wat is vervolgens het punt waarop je zegt dat de ontwikkeling van het rekenen niet goed verloopt?
• Ten tweede kan een toets signaleren of de kinderen zich vaardigheden eigen hebben gemaakt. Maar ook het onderzoekje van de leraar na elke periode waarin gekeken wordt naar wat de kinderen zich verworven hebben is belangrijk: -De leraar plaatst de leerstof in een duidelijke door de school afgestemde lijn. Hij ontleent de periodedoelen aan deze lijn. -De leraar bepaalt, om de gegevens objectief te maken, vooraf een norm.
• Ten derde kan een onderzoek naar de gemaakte fouten inzicht geven in de mate waarin vaardigheden werkelijk beheerst worden.

Daarbij geeft de informatie voortkomend uit deze drie punten ook een blik op de didactiek van de leraar. Is de leerstof doeltreffend aangelegd? Hebben de kinderen het wel begrepen?

Vanuit deze gegevens kan de leerkracht een duidelijke vraag stellen of een probleem stellen:

‘Hoe komt het toch dat Marieke bij deze minsommen er altijd één te hoog uit komt?’

‘Hoe komt het dat Karel de sommen tot 20 wel geautomatiseerd heeft maar deze in het optellen niet kan toe passen in het gebied tot de 100?’

Daarna moeten we er achter zien te komen waar het werkelijke probleem ligt. Dit zijn gegevens die vaak niet direct uit een toets of een waarneming boven tafel komen.

• Je wilt weten op welk beheersingsniveau een kind instapt (wat kan het kind al)
• Je wilt weten welke stappen een kind onderneemt (welke strategieën gebruikt het kind) om de oplossing te vinden)
• Je wilt weten of er wellicht een andere oorzaak is waarom de gewenste rekenstappen niet genomen kunnen worden

Wanneer je dan met een kind in gesprek gaat of wanneer je observeert hoe een kind een opgave (op verschillend niveau) oplost ontdek je als leraar vaak dat er een veelkleurigheid aan strategieën te vinden is, meer dan je zelf verwacht had. Maar daarmee ontdek je ook dat er binnen elke strategie fouten op de loer liggen; fouten die vaak al ingeslepen zijn. Om antwoord te vinden op bovenstaande vragen is het nodig dat je een kind aan het werk ziet. Je moet met het kind in gesprek gaan over het rekenen om door te dringen tot het probleem: er moet een diagnostisch gesprek worden gevoerd.

Een diagnostisch gesprek is ‘een gesprek waarin je zicht probeert te krijgen op de oplossingsprocedures, denkprocessen en handelingen van het kind door middel van vraagtechnieken en observaties’ (J. van Vugt, 2004).

Wanneer we in dit hoofdstuk spreken over een (diagnostisch) gesprek dan bedoelen wij daarmee:

Een gesprek en een reeks van observaties in een gecreëerde situatie, waarin en waardoor je met behulp van vraagtechnieken zicht probeert te krijgen op de oplossingsprocedures, denkprocessen en handelingen van het kind ten aanzien van rekensituaties en rekenopgaven.

 

In een dergelijk gesprek, een dergelijke situatie, wil je dus te weten komen hoe een kind een rekenwiskundige vraag aanpakt. Welk pad hij volgt en waar hij hindernissen tegen komt. Zo’n gesprek vraagt om een aantal vaardigheden van de leraar:

• Tijdens dit gesprek en in deze observatie moet een leraar zich steeds afvragen of hij werkelijk begrijpt wat een kind zegt en doet. Doorvragen tot alles helder is, is natuurlijk een vereiste zonder dat het kind het gevoel krijgt dat het verhoord wordt. Voorwaarde is dan ook een oprechte interesse in de aanpak van een kind.
• Daarnaast moet de leraar aftasten of het kind zijn vragen of handelingen wel begrijpt. Dus regelmatig terugvragen of de vraag begrepen is. Laat kinderen de vraag of handeling herhalen. Tevens draagt de leraar er zorg voor dat een kind altijd hulpmateriaal kan inzetten tijdens het maken van de som
• Als leraar moet je natuurlijk wel weten hoe het rekenproces verloopt en waar je op kunt letten. Daarvoor kunnen de rekenkijkwijzers zoals deze zijn bijgevoegd een steun zijn. Ze zijn als het ware een bril waardoor je naar het rekenproces en rekenvaardigheden kijkt.
• Tenslotte is het belangrijk dat je tijdens het stellen van de vragen niet verbaal en non-verbaal stuurt. Natuurlijk heb je als leraar een beeld van dat rekenproces en wil je het kind helpen. Hier staat nu het proces van het kind zelf centraal; dus niet sturen.

In het gesprek nemen we de opgave waar het kind moeite mee heeft centraal en vragen het kind de opgave te maken. De leerkracht zit daarbij en neemt het kind waar in zijn handelen .

Marietje uit klas 3 kijkt naar de som die meester op het papier heeft gezet; 43+18. Zij legt haar handen op tafel en fronst haar wenkbrauwen. De leraar ziet dat de vingers bijna niet waarneembaar bewegen. Ook haar lippen spreken bijna onzichtbaar de telrij uit. Na korte tijd zegt ze: ’60?’ zegt ze op een vragende toon.

De leraar kan het kind vragen of het vertelt wat het doet. Maar vaak is dit voor kinderen erg moeilijk en lopen ze daarin vast. Als leraar kun je dan op verschillende manieren ondersteunen:

• Even vlot trekken. Je kan een kind helpen tijdens zo’n gesprek. Misschien pikt het wat op van deze les. Voor het gesprek is het minder zinvol omdat je dan geen duidelijk zicht krijgt op het rekenproces van het kind. Wel kun je zien of het kind na het nemen van de eerste hobbel de volgende stap zelf kan maken en of hij deze eerste stap bij de volgende som wel kan toepassen.
• Je kunt het kind vragen of het wellicht eerst even een andere som wil proberen. Probeer eerst een stapje terug te gaan om vervolgens tot een analoge som terug te keren.
• Je kunt wat hulpmateriaal inzetten, zoals een rekenrek, MAB materiaal of een 100-snoer.
• Je kunt vanuit de rekenkijkwijzer een stap terug gaan naar een rekenvaardigheid die hieraan vooraf is gegaan.

Wees dus niet te dwingend in deze vraag en zet een goede waarneming daarvoor in de plaats. In een diagnostisch gesprek in de lagere klassen is het belangrijk om een kind te vragen naar de uitgevoerde handeling; terugvragen naar wat het al uitgevoerd heeft. De vraag naar de te kiezen werkwijze: Hoe ga je dat aanpakken?, is een vraag die na de vierde klas thuis hoort. ‘Johan kun jij voor mij de volgende som maken?’ De leraar heeft de som opgeschreven: 24+17. Johan maakt de som en terwijl hij dat doet pakt hij een potlood en tekent een getallenlijn. Dat is een vorm van aanpakken die in de klas ook steeds wordt gebruikt. Johan tekent de grote boog en bij de kleine boogjes telt hij tot zeven. Daarna wijst hij ze alle zeven nog een keer aan en zegt bij de laatste : ’40’

 

‘Johan vertel eens wat je gedaan hebt om bij die 40 te komen.’ ‘Nou ik heb gewoon 24 erbij 10 gedaan en dat is 34 en toen die 7 erbij.’ ‘Tjonge vertel eens hoe je dat met die zeven gedaan hebt.’ ‘Nou gewoon erbij opgeteld.’ ‘Wil je dat dan eens hardop voor mij doen?’ Johan kijkt meester enigszins bevreemd aan. Iedereen kan dat toch! En hij telt: ‘34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 .‘

Zo’n gesprek geeft veel informatie over hoe het kind rekent en waar de fouten ontstaan. Deze gesprekken kunnen gevoerd worden met kinderen die een rekenprobleem vertonen. Ze kunnen echter ook gevoerd worden met groepjes kinderen om aan de hand van een kijkwijzer te kijken waar kinderen in het leerproces zitten. De kijkwijzers die hieronder worden weergegeven zijn dan ook van nut tijdens de voorbereiding van een diagnostisch gesprek maar ook als waarnemingkader van het beheersingsniveau van kinderen. Ze kunnen naast toetsing een goed beeld geven van het beheersingsniveau en de wijze waarop kinderen rekenen.

De rekenkijkwijzer

In dit boek hebben we gekozen voor het beschrijven van de basisvaardigheden op rekengebied van kleuterklas tot en met klas 2. In het volgende overzicht wordt vanuit dit oogpunt het rekenen tot 100 (het gebied van de basisvaardigheden) in kaart gebracht . Ener-zijds is er de ontwikkelingslijn van het getalbegrip (elementair getalbegrip, uitbreiding van het getalbegrip tot 20 en uitbreiding van het getalbegrip tot 100) en anderzijds zijn er de bewerkingen. De kijkwijzers (ontwikkeld uit de zoekvragenlijst uit Rekenen & zorgverbreding, Ward van de Vijver, 1998) die dit gebied bestrijken dienen als hulpmiddel voor de leerkracht om zijn blik doelgerichter op het rekenproces en rekenvaardigheden van de kinderen te richten.

Schematisch is het verband tussen de kijkwijzeronderdelen onderdelen als volgt weer te geven: